МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА РАДІОТЕХНІКИ
Лабораторна робота №2
З дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Перевірив:
Асистент
Клопотовський П.А.
Виконали:
Студенти групи ТК-34
Лопушанська В.Р.
Хоменко В.В.
Євтушенко І.О.
Черкаси 2014
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Мета роботи: ознайомитися з особливостями формування та опису
випадкових величин. Засвоїти основні прийоми опису дискретних та
безперервних випадкових величин в MathCad.
Теоретичні відомості
Разом з поняттям випадкової події в теорії ймовірності використовується
і зручніше поняття випадкової величини.
Випадковою величиною називається величина, що приймає в результаті
досліду одне зі своїх можливих значень, причому заздалегідь невідомо, яке
саме.
Позначають випадкові величини заголовними буквами латинського
алфавіту (Х, Y,Z,…), а їх можливі значення – відповідними малими буквами
(xi, yi,…).
Випадкова величина називається дискретною, якщо вона приймає
окремі, ізольовані можливі значення з певною ймовірністю.
Випадкова величина називається безперервною, якщо безліч її можливих
значень цілком заповнює деякий кінцевий або нескінченний проміжок.
Дискретні випадкові величини.
Для надання дискретної випадкової величини потрібно знати її можливі
значення і ймовірності, з якими приймаються ці значення. Відповідність між
ними називається законом розподілу випадкової величини. Він може мати
вид таблиці, формули або графіка.
Таблиця, в якій перераховані можливі значення дискретної випадкової
величини і відповідні їм ймовірності, називається рядом розподілу:
Xi
X1
X2
…
Xn
…
Pi
P1
P2
…
Pn
…
Відмітимо, що подія, що полягає в тому, що випадкова величина
прийме одне зі своїх можливих значень, є достовірною, тому .
Графічно закон розподілу дискретної випадкової величини можна
представити у вигляді багатокутника розподілу – ламаною, що сполучає
точки площини з координатами (xi, pi).
Функція розподілу.
Функцією розподілу F(x) випадкової величини Х називається ймовірність
того, що випадкова величина прийме значення, менше х:
F (x) = p (X< x).
Властивості функції розподілу.
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 Дійсно, оскільки функція розподілу є ймовірністю, вона
може приймати тільки ті значення, які приймає ймовірність.
2) Функція розподілу є неубуваючою функцією, тобто F(x2) ≥ F(x1) при х2
> x1. Це витікає з того, що F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥
F(x1).
3) , Зокрема, якщо всі можливі значення Х
лежать на інтервалі [а, b], то F(x)= 0 при х ≤ а і F(x)= 1 при х ≥ b. Дійсно, X <
а – подія неможлива, а X < b – достовірна.
4) Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
[а, b], рівна різниці значень функції розподілу на кінцях інтервалу:
p (а < X < b) = F(b) – F(a).
Справедливість цього твердження виходить з визначення функції
розподілу (див. властивість 2).
Для дискретної випадкової величини значення F(x) в кожній точці є сумою
ймовірності тих її можливих значень, які менше аргументу функції.
Визначення і властивості функції розподілу зберігаються і для
безперервної випадкової величини, для якої функцію розподілу можна
вважати одним з видів надання закону розподілу. Але для безперервної
випадкової величини ймовірність кожного окремого її значення рівна 0. Це
витікає з властивості 4 функції розподілу: р(Х=а)= F(a) – F(a)= 0. Тому для
такої випадкової величини має сенс говорити тільки про ймовірність її
попадання в деякий інтервал.
Другим способом надання закону розподілу безперервної випадкової
величини є так звана щільність розподілу (щільність ймовірності,
диференціальна функція).
Функція f(x), звана щільністю (густиною) розподілу безперервної
випадкової величини, визначається по формулі:
p (x) = F′(x)
тобто є похідною функції розподілу.
Властивості щільності розподілу.
1) p (x) ξ ≥ 0, оскільки функція розподілу є такою, що не убуває.
2) що виходить з визначення щільності розподілу.
3) Ймовірність попадання випадкової ве...
